das #Verdoppelungsprinzip #math #Statistik #Roulette ✩ minimalste Gewinnchance bei wiederholtem Setzen auf die gleiche Farbe

Wie funktioniert das Verdoppelungsprinzip?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulette-Spiel die Kugel auf eine rote Zahl fällt?

Geht man vom europäischen Roulette aus, wo es nur ein Zero-Feld gibt (bei dem die Bank abkassiert), ist diese Wahrscheinlichkeit

P(rot) = 18 / 37

weil es genau 37 mögliche Felder gibt (incl. dem Zero-Feld, das ja gar keine Farbe hat), und davon sind genau 18 rot.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel ins Schwarze rollt, ist genauso groß,
ABER die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man KEIN rotes Feld bekommt, ist

P(nicht-rot) = 1 − (18/37) = 19 / 37

(1)
Man sieht:
Wer immer nur auf eine Farbe setzt, verliert langfristig, weil in 19 von 37 Fällen, also zu mehr als 50%,

19/37 "handschriftlich" berechnet mit MyScript Calculator unter Android
19/37 "handschriftlich" berechnet mit MyScript Calculator unter Android

die gewählte Farbe NICHT zum Zuge kommt.

Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass bei ZWEI Spielen hintereinander jeweils KEINE rote Zahl getroffen wird?
Nun, beim ersten Spiel gibt es 37 Möglichkeiten für die Kugel und 19mal davon nicht-rot, beim nächsten bleibt das grad genauso !

Die beiden Ereignisse sind voneinander völlig unabhängig, also muss man ihre jeweiligen Einzel-Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Damit ergibt sich als die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Gesamt-Ereignis (=zweimal hintereinander verlieren):

P(zweimal nicht-rot) = (19/37)ˆ2

(19/37) hoch 2 "handschriftlich" berechnet mit MyScript Calculator unter Android
≈ 0,51 * 0,51 ≈ 0,26

(2)
Naive Zeitgenossen, die sich einbilden, sie könnten mit der berüchtigten Verdoppelungsstrategie beim Roulette ein Vermögen gewinnen, denken beim Anblick der Formel
P(zweimal nicht-rot) = (19/37) ˆ 2
dies würde doch ihre Gewinnerwartung bestätigen, denn beim n-ten Spiel wird die obige Gleichung zu

P(n-mal nicht-rot) = (19/37) ˆ n

und dieser Ausdruck konvergiert mit wachsendem n gegen 0, also „muss das doch irgendwann kommen“.

Das ist zwar grundsätzlich richtig, aber mit wachsendem n nähert man sich auch sehr schnell dem Zeitpunkt, wo die Bank sagt: Jetzt ist Schluss mit lustig! Ende der Veranstaltung! Denn erstens haben die Croupiers auch mal Feierabend, und zweitens gibt es bei jedem Roulette eine Obergrenze für den Einsatz, und die ist mit dem Verdoppelungsprinzip sehr schnell erreicht.

Nehmen wir an, einer dieser mathematischen Analphabeten kommt ins Casino,
mit 1000 Euro in der Tasche.
Und möchte schnell mal eben mit dem Verdoppelungsprinzip abkassieren.
Außerdem setzen wir das Banklimit großzügig auf 10000 Euro.
Er setzt also einen Euro (als „Grundeinsatz“) auf rot. Wie viele Male muss er das Doppelte setzen, bis er seine 1000 Euro verbraucht hat?
Nun, beim 2. Spiel muss er 2 Euro setzen, beim dritten dann 4 = 2 ˆ (3-1), beim vierten 8 = 2 ˆ (4-1), usw. ,
beim n-ten Spiel 2 ˆ (n−1).

Wenn er auch beim 9. Spiel hintereinander verliert [ Verlust im 9. Spiel = 2 ˆ 8 = 256 ], so ergibt das an Verlusten bis zu diesem Spiel

1 + 2 + 4 + 8 + … + 256 = 511
= (2 ˆ 9) − 1
Euro.

Weiter gehts dann nimmer, weil unser Kandidat im 10. Spiel bereits 512 Euro setzen müsste, um wenigstens noch einen Gewinn von einem Euro rauszuholen.
Die hat er aber nicht mehr, weil er bereits 511 Euro von den 1000 verspielt hat. Hier müsste der Spieler also einsehen, dass seine Strategie gescheitert ist.

Warum aber hätte er im Falle eines Gewinns (egal beim wievielten Spiel) immer nur einen Euro, also seinen Grundeinsatz, gewonnen ?

Auch das kann man mit einer recht einfachen Rechnung einsehen:
Wir nehmen an, der Spieler beginnt mit einem Grundeinsatz g (oben hatten wir der Einfachheit halber g = 1 gesetzt).
Im zweiten Spiel muss er dann 2g einsetzen, im dritten 4g = g*(2 ˆ (3-1)),
im n-ten Spiel dann g*(2 ˆ (n−1)).

Gewinnt er nun im n-ten Spiel, so bekommt er den Spieleinsatz dieses Spiels zurück, also
g*(2 ˆ (n−1) ) Euro,
und denselben Betrag noch einmal als eigentlichen Gewinn.

Doch was hat er nun wirklich gewonnen?
Da er den Einsatz des letzten (also des n-ten) Spieles von der Bank zurückbekommen hat, müssen wir nur noch die Ausgaben für die davorliegenden (n − 1) Spiele gegen den Gewinn
g*(2 ˆ (n−1) )
aufrechnen:

Ausgaben für die ersten n − 1 Spiele:
g * ( 1 + 2 + 2ˆ(3-1) + 2ˆ(4-1) + … + 2ˆ(n−2) )

g * (Summe über i von 0 bis (n-2) für 2 hoch i)
g * (Summe über i von 0 bis (n-2) für 2 hoch i)

Mithilfe des http://de.numberempire.com/seriescalculator.php
Online-Reihen-Rechners

lässt sich die Summe aus einer endlichen oder unendlichen Folge berechnen (früher mussten dafür eine Unmenge von einzelnen ‚Summen-Formeln‘ in einer Formelsammlung herhalten oder man musste irre ‚Programme‘ auf ‚Taschenrechnern‘ dafür entwickeln):

Aufgabe formulieren für Summe über Intervall berechnen online
Aufgabe formulieren für Summe über Intervall berechnen online
Ergebnisanzeige Ausdrbei bei Summe über Intervall berechnen online
Ergebnisanzeige Ausdruck bei Summe über Intervall berechnen online

Summe (Serie) von 2ˆi mit i auf dem Intervall von 0 bis n-2
ergibt
2ˆ(n−1) − 1
Dieser ganze Ausdruck (!!) mit g ( d.h. dem Grundbetrag, im Beispiel 1 ) multipliziert ergibt:

g * [ 2ˆ(n−1) − 1 ] =
g * [ 2ˆ(n−1) ] − g

Diese Ausgaben ziehen wir von dem ab, was die Bank im letzten Spiel als ’Gewinn’ ausgezahlt hat:

g * 2ˆ(n−1) − ( [ g * 2ˆ(n−1) ] − g ) = + g
{ − −g ergibt halt +g 😁😁 }

Wie man sieht: es bleibt nur der mickrige Euro Grundeinsatz als Gewinn übrig, wenn man eben als Grundbetrag g = 1 gewählt hat.

Insgesamt kann man mit dieser Strategie („den Einsatz jedesmal verdoppeln, bis zum ersten Gewinn durchhalten, nach diesem Gewinn Ergebnis mitnehmen“) also nie mehr als den eingesetzten Grundbetrag dazugewinnen, verlieren kann man dagegen erheblich mehr, bis zu seinem gesamten, notwendigerweise – und glücklicherweise – „begrenzt gehaltenen“ Einsatz.

Dieser Beitrag ist eine überarbeitete Zusammenfassung aus
http://math-lib.de/node/54
Roulette: Das Märchen vom Gewinn durch Verdoppeln des Einsatzes

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